PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi berencana akan membangun dua tipe ru

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Program Linear
Kata Kunci : model, matematika, fungsi, optimum

Pembahasan :
Program linear adalah suatu cara untuk memecahkan suatu persoalan tertentu dimana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian. Dari semua hasil yang mungkin, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimal).

Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x, y) = ax + by yang dinamakan fungsi objektif terhadap suatu poligon yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel termasuk persyaratan variabel-variabel yang tidak negatif (x ≥ 0 dan y ≥ 0).

Setiap titik dalam poligon dinamakan penyelesaian yang mungkin dari masalah. Suatu titik dalam poligon dimana f mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum.

Nilai optimum (nilai maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x, y) = ax + by dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan garis selidik.

Mari kita lihat soal tersebut.
PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman
baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 m² berencana
akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan luas 130 m² dan tipe melati dengan luas 90 m². Jumlah rumah yang akan di bangun tidak lebih 150 unit. Pengembang merancang laba tiap-tiap tipe rumah Rp2.000.000,00 dan Rp1.500.000,00. Modelkan permasalahan di atas!

Jawab :
Persoalan di atas kita buat model matematikanya.

Pertama, kita buat tabelnya.

Misalkan tipe rumah mawar = x dan tipe rumah melati = y.

                                               Tipe Mawar      Tipe Melati      Jumlah
Luas tanah (m²)                      130x                  90y                  12.000
Banyaknya unit (buah)          x                        y                       150
Laba (rupiah)                         2.000.000,00   1.500.000,00

Model matematika dari persoalan di atas adalah
130x + 90y ≤ 12.000
⇔ 13x + 9y ≤ 1.200;
x + y ≤ 150;
x ≥ 0;
y ≥ 0.

Fungsi optimumnya adalah F(x, y) = 2.000.000x + 1.500.000y

Kemudian, dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi, kita cari titik potong dari garis-garis
13x + 9y = 1.200 |.1|
x + y = 150          |.13|

Kita eliminasi x, diperoleh
13x + 9y = 1.200
13x + 13y = 150
______________-
⇔ -4y = 1.050
⇔ y = [tex]- \frac{1.050}{4} [/tex]
⇔ y = -262,5

Kita substitusikan y = -262,5 ke persamaan
x + y = 150
⇔ x = 150 - y
⇔ x = 150 - (-262,5)
⇔ x = 412,5

Ingat syarat y ≥ 0, namun nilai y di atas negatif. Sehingga titik (412,5; -262,5) tidak digunakan.

Berdasarkan gambar pada lampiran, kita peroleh titik-titik yang disusbtitusikan ke fungsi optimum F(x, y) = 2.000.000x + 1.500.000y
(0, [tex] \frac{1.200}{9} [/tex]) →
F(x, y) = 2.000.000(0) + 1.500.000([tex] \frac{1.200}{9} [/tex]) = 0 + [tex] \frac{1.800.000.000}{9} [/tex] = 200.000.000

([tex] \frac{1.200}{3} [/tex], 0) →
F(x, y) = 2.000.000([tex] \frac{1.200}{3} [/tex]) + 1.500.000(0) = [tex] \frac{2.400.000.000}{3} [/tex] = 800.000.000.

Jadi, harga maksimumnya Rp800.000.000,00 dan harga minimumnya Rp200.000.000,00.

Semangat!