Tentukan nilai minimum fungsi objektif f(x,y)=4x-2y dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 2x+3y lebih dari Sama dengan 2,3y-2x kurang dari sama dengan

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Program Linear
Kata Kunci : fungsi, optimum

Pembahasan :
Program linear adalah suatu cara untuk memecahkan suatu persoalan tertentu dimana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian. Dari semua hasil yang mungkin, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimal).

Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x, y) = ax + by yang dinamakan fungsi objektif terhadap suatu poligon yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel termasuk persyaratan variabel-variabel yang tidak negatif (x ≥ 0 dan y ≥ 0).

Setiap titik dalam poligon dinamakan penyelesaian yang mungkin dari masalah. Suatu titik dalam poligon dimana f mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum.

Nilai optimum (nilai maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x, y) = ax + by dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan garis selidik.

Mari kita lihat soal tersebut.
Tentukan nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 4x - 2y dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 2, 3y - 2x ≤ 10, 2x + y ≤ 6, y ≥ 0!

Jawab :
Perhatikan gambar terlampir.

Dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi, kita cari titik-titik potong
2x + 3y = 2    ...(a)
-2x + 3y = 10 ...(b)
 
Kita eliminasi x, diperoleh
2x + 3y = 2
-2x + 3y = 10
__________+
⇔ 6y = 12
⇔ y = 2
Nilai y = 2, kita substitusikan ke persamaan 
2x + 3y = 2
⇔ 2x = 2 - 3y
⇔ 2x = 2 - 3(2)
⇔ 2x = 2 - 6
⇔ 2x = -4
⇔ x = -2.

Dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi, kita cari titik-titik potong
2x + y = 6    ...(c)
-2x + 3y = 10 ...(b)
 
Kita eliminasi x, diperoleh
2x + y = 6
-2x + 3y = 10
__________+
⇔ 4y = 16
⇔ y = 4
Nilai y = 4, kita substitusikan ke persamaan 
2x + y = 6
⇔ 2x = 6 - y
⇔ 2x = 6 - 4
⇔ 2x = 2
⇔ x = 1

Berdasarkan gambar pada lampiran, kita peroleh titik-titik yang kita subtitusikan ke fungsi optimum f(x, y) = 4x - 2y, diperoleh
(1, 4) → f(x, y) = 4(1) - 2(4) = 4 - 8 = -4
(-2, 2) → f(x, y) = 4(-2) - 2(2) = -8 - 4 = -12
(1, 0) → f(x, y) = 4(1) - 2(0) = 4 - 0 = 4
(3, 0) → f(x, y) = 4(3) - 2(0) = 12 - 0 = 12

Nilai minimumnya adalah -12 pada titik (-2, 2) dan nilai maksimumnya adalah 12 pada titik (3, 0).

Semangat!