1³+2³+3³+...+n³=¼n²(n²+2n+1). buktilanlah

Induksi Matematika
di lampiran

Induksi matematika
Kls XI minat

Sederhanakan dulu
(n² +2n + 1)² => (n + 1)²

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = 1/4[ n² (n + 1)² ]

1. Buktikan untuk n=1 benar

n = 1 
1³ =1/4 [ 1² (1 + 1)² ]
1 = 4/4
1=1 (terbukti) 

2. Jika n= k diasumsikan benar maka akan dibuktikan n= k+1 juga benar

n=k
1³ + 2³ + 3³ + ... + k³ = 1/4[ k² (k + 1)² ]

n = k + 1

Ruas kiri
= 1³ + 2³ + 3³ + ... + k³ + (k + 1)³ 
=1/4 [ k² (k + 1)² ] + (k + 1)³ 

Ruas kanan
= [ (k + 1)² (k + 2)² ] /4 
= [ (k² + 2k + 1)(k² + 4k + 4) ] /4 
= [ k⁴ + 6k³ + 13k² + 12k + 4 ] /4 

Akan dibuktikan ruas kiri sama dengan kanan

=> [ k² (k + 1)² + 4(k + 1)³ ] /4  ( Samakan penyebut)

=> [ k² (k + 1)² + 4(k + 1)³ ] /4 

=> [ k² (k² + 2k + 1) +4( k³ + 3k² + 1 ] /4 

=> [ k⁴ + 2k³ + k² + 4k³ + 12k² + 12k + 4 ] /4 

=> [ k⁴ + 6k³ + 13k² + 12k + 4 ] /4  terbukti